Mavi Gözlü Adalılar Problemi

Prof. Tao'nun bloğunda anlayabildiğim yazılar gördükçe aktarmaya devam ediyorum. Bu defa konumuz bir mantık problemi: Mavi gözlü adalılar (blue-eyed islanders). Aynen dilimize aktarıyorum: (Kelime oyunu vs. yoktur.)

Üzerinde bir kabile yaşayan bir ada vardır. Bu kabile değişik göz renklerine sahip 1000 kişiden oluşmaktadır. Fakat dinleri, kendi göz renklerini bilmelerini, hatta bunun üzerine herhangi bir müzakere yapmayı dahi yasaklamaktadır. Böylece, adadaki herkes, diğer herkesin göz rengini görmekte, fakat kendi göz rengini herhangi bir şekilde öğrenememektedir. Şayet birisi kendi göz rengini bir şekilde anlarsa yahut öğrenirse, dinleri gereği ertesi gün öğlen vakti meydanda herkesin şahitliğinde intihar etmek zorundadır. Kabiledeki herkes mükemmel bir şekilde mantıksal ve dindardır. Aynı zamanda herkes herkesin mükemmel bir şekilde mantıksal ve dindar olduğunu bilmektedir. (Herkes, herkesin herkesin böyle olduğunu bildiğini de bilmektedir. Ad infinitum...)

Kabile 100 mavi gözlü, 900 kahverengi gözlü kişiden oluşmaktadır, ama kabiledekiler bunu bilmemektedir. (Bilselerdi diğer herkesin gözünü gördükleri için sayıp kendi göz renklerini bulabilirlerdi.)

Günlerden bir gün, adaya mavi gözlü bir yabancı gelir. Kısa zamanda kabilenin tam anlamıyla güvenini kazanır. (Yani bu adamın dediğine kesinlikle herkes inanacaktır.)

Bir akşam bu adam tüm kabileye misafirperverliklerinden ötürü teşekkür eder. Fakat kabilenin geleneklerinden habersiz olan bu şahıs gaflet içerisinde şöyle bir cümle kuruverir: "Dünyanın diğer ucundaki bu adada benim gibi mavi gözlü birinin olması ne kadar da garip!"

Sorumuz şu: Yabancı adamın bu gafının kabile üzerinde herhangi bir etkisi var mıdır? Varsa nedir?

Bu noktada soru üzerine biraz düşünmenizi tavsiye ederim.


Düşündüyseniz muhtemelen şu iki savdan birinde karar kılmış olmalısınız:

1. Yabancının gafı kabiledekiler için herhangi bir şey ifade etmemektedir, çünkü zaten adada birçok mavi gözlü insan olduğu herkesçe malumdur. Kısacası yabancı yerlilere bilmedikleri bir şey söylememiştir.
2. 100 gün sonra tüm mavi gözlüler intihar eder.

Dikkat edersek ikinci şık şu önermenin genel halidir:

Önerme: Diyelim ki, n pozitif bir doğal sayı olmak üzere, adada n tane mavi gözlü insan olsun. O halde gaftan n gün sonra tüm n mavi gözlü kişi intihar eder.

İspat: n üzerinde tümevarım yapıyoruz. n = 1 olsaydı o bir kişi mavi gözlü kişinin kendisi olduğunu anlar ve ertesi gün intihar ederdi. Diyelim ki n en az 2 olsun. O halde her mavi gözlü kişi şöyle düşünür: "Eğer ben mavi gözlü değilsem kabilede sadece n-1 mavi gözlü olabilir. Bu durumda n-1. gün tüm n-1 mavi gözlü intihar edecektir." Fakat n-1'inci günün akşamına gelindiğinde kimse intihar etmeyince tüm mavi gözlüler kendilerinin de mavi gözlü olduğunu anlarlar. Nitekim ertesi gün (yani n'inci gün) öğlen hepsi birden intihar eder.

Esasında hangi savın doğru olduğu aşikâr, ama üzerine düşünme zevkini elinizden almak istemiyorum.